실수 a≤b≤c가 a²+b²+c²=1을 만족한다. 두 이웃 간격 b−a와 c−b 중 하나는 반드시 1/√2 이하임을 증명하라. 이 상수를 더 작게 바꿀 수 있는지도 판단하라.
두 간격 중 작은 값을 d라고 하면 c−a=(c−b)+(b−a)≥2d이다. 또한 제곱의 합에서 다음 부등식이 성립한다.
따라서 d≤1/√2이다. 가운데 수까지 포함한 제곱합의 제한이 두 끝점의 거리, 이어서 가까운 두 점의 간격을 제한한다.
에서는 제곱합이 1이고 두 간격이 모두 1/√2이다. 따라서 더 작은 수를 ‘항상 가능한 간격 상한’으로 주장할 수 없다.
HBCSE의 네 실수 문항은 정렬한 수 사이의 간격과 제곱합을 연결한다. 이 글은 수를 셋으로 바꾼 별도 명제에서, 짧은 부등식 사슬과 등호 예를 함께 구성했다. 교사는 증명만 제시한 답과 상수의 최선성까지 확인한 답을 구분하여 읽게 할 수 있다.
출처·착안: RMO 2024 Official Solutions Problem 4. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.