두 구 사이의 y축을 지나는 공통 접평면은 z=0일까

S_1:x^2+y^2+(z-2)^2=1,\qquad S_2:x^2+y^2+(z+2)^2=1.

y축 전체를 포함하며 두 구에 모두 접하는 평면을 구하라. 두 중심 사이의 중간 평면 z=0이라는 답을 검토하라.

y축을 포함하는 평면은 ax+cz=0이고 a²+c²>0이다. 두 중심에서 이 평면까지의 거리는 모두

\frac{2|c|}{\sqrt{a^2+c^2}}.

반지름1과 같아야 하므로4c²=a²+c², 즉 a²=3c²다. c=0이면 a=0이 되어 평면을 만들지 못한다. 따라서

\sqrt3x+z=0\quad\text{또는}\quad\sqrt3x-z=0.

서로 다른 공통 접평면이 두 개다.

z=0도 두 중심에서 같은 거리2이고 y축을 포함한다. 하지만 반지름1보다 먼 평면이라 두 구와 만나지 않는다. 같은 거리라는 조건에는 그 거리가 반지름이라는 조건을 더해야 한다.

첫 평면의 두 접점은(−√3/2,0,3/2), (√3/2,0,−3/2)다. 각각 중심에서 법선 방향으로1만큼 떨어진 점이다. 두 점을 각 구의 식과 평면식에 넣어 실제 접점을 확인한다.

해설에는 구가 대칭이어서 두 거리 식이 같다는 줄과, 그 값을1로 정하는 줄을 구별한다. 공통이라는 말은 두 조건을 만족한다는 뜻이지 중심을 연결한 선분의 중점에서 접한다는 뜻이 아니다. 두 구 사이의 빈 공간에도 접평면이 지나갈 수 있는지 접점 위치로 확인한다.

계수의 실수배로 쓴 식은 같은 평면이다. a=√3,c=1과 a=2√3,c=2를 서로 다른 답으로 세지 않는다. 두 부호에서 남는 두 평면은 서로 다른 방향이므로 실제로 두 개다. 식의 개수와 도형의 개수를 마지막에 따로 확인한다.