같은 정규분포 N(μ,100)에서 독립 표본 두 개를 얻는다. 각 표본의 크기는100이며 표본평균 M₁,M₂도 서로 독립이다.
둘 다200개의 관측값을 썼으므로 분산은100/200=0.5라는 설명을 검토하라.
두 평균의 평균은 모두μ이고 각각의 분산은1이다. 독립 조건으로 서로 다른 평균에서 떨어진 값의 곱 평균이0이므로
T에는 일반 표본평균의 분산0.5를 그대로 쓸 수 없다.
관측값을 모두 썼다는 것만으로는
U는200개 관측값에 각각1/200의 비중을 준 전체 표본평균이다. T는 첫100개 각각에0.009, 뒤100개 각각에0.001의 비중을 준 값이다. 평균의 합이1인 같은 자료를 사용했어도 관측값의 비중이 다르다.
일반적으로 T_w=wM₁+(1−w)M₂이면 분산은w²+(1−w)²=2(w−1/2)²+1/2다. 두 표본을 같은 비중으로 쓰는 w=1/2에서 가장 작다. 큰 비중을 첫 표본에 준다고 모평균을 더 잘 알아낸 것은 아니다.
교사는 표본크기200만 적힌 풀이 뒤에 실제 관측값의 계수를 확인한다. 이 답안에서 모평균μ를 맞게 중심으로 둔 줄은 유지한다. 틀린 부분은 사용한 통계량이 단순 표본평균이라고 간주해 분산 공식을 붙인 줄이다.
두 표본이 독립이라는 조건도 계산에 사용했다. 독립 조건이 없으면 중간 곱의 평균이0이라고 지울 수 없다. 무엇을 추정하는지와 어떤 비중으로 자료를 합쳤는지를 각각 한 줄로 남기는 채점 질문이다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#14 How confident are you? part 1」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.