각 θ를 0°부터 90° 사이에서 균등하게 고른다. 같은 길이의 각도 구간은 같은 확률이다. 반지름 1인 원 위 점 P=(cosθ,sinθ)의 x좌표가 1/2보다 클 확률을 구하라.
x좌표가 0부터 1까지이므로 확률은 1/2이라는 답을 검토한다.
이 각도 범위에서 cosθ>1/2는 θ<60°와 같다. 따라서
균등하게 선택한 것은 θ다. x좌표의 범위가 길이 1이라는 사실이 x좌표의 각 구간을 같은 확률로 고른다는 뜻은 아니다.
절반 길이가 아닌 절반 확률
x좌표가 1/2보다 작은 쪽에는 60°부터 90°의 30° 구간이 대응한다. 같은 가로 길이 1/2씩을 나누었지만 두 사건의 확률은 2/3과 1/3이다.
경계 θ=60° 하나의 확률은 0이므로 >를 ≥로 바꿔도 답은 같다. 경계를 포함하는지와 어느 수를 균등하게 고르는지라는 두 조건을 혼동하지 않는다.
θ 대신 x를 [0,1]에서 균등하게 고른 뒤 P=(x,√(1−x²))를 만들면 첫 답 1/2가 맞다. 점들이 놓이는 원의 부분은 같아도 선택 절차가 다르다. 그림의 곡선만으로 확률을 정하지 않는다.
해설에는 각도 선택 구간과 사건에 대응하는 각도 구간을 함께 표시한다. 수평 좌표의 범위를 반으로 잘라 답한 풀이에서 빠진 것은 삼각함수 값의 계산이 아니라 균등 선택의 대상이다.
선택 절차를 각도로 정의했으므로 각도 구간의 길이를 분모와 분자로 쓴다. 호의 길이로 계산해도 반지름1인 같은 원에서는 같은 비율이지만, 수평 좌표 길이의 비율로 바꾸는 것은 별도 전제다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.