V(x)=x(36−x)²에서 x는 cm, V는 cm³ 단위이다. 같은 상자를 dm 단위로 나타낼 때 높이를 t, 부피를 W(t)라 하자. V′(10)=156이라는 값에서 W′(1)을 바로 156/1000으로 바꾸어도 되는가?
길이는 10cm=1dm이고 부피는 1000cm³=1dm³이다. 따라서 같은 상자의 두 표현은 다음과 같다.
변화율은 부피만 바꾸는 값이 아니다. 높이의 단위도 바뀌므로 미분하면 계수 10이 한 번 더 생긴다.
V′의 단위는 cm³/cm=cm²이고 W′의 단위는 dm²이다. 156cm²=1.56dm²라는 단위 계산도 같은 결과를 준다.
Descartes 자료는 그래프를 보기 위해 cm를 dm로 바꾼다. 그 장면에서 부피와 부피 변화율의 환산을 구별하는 새 질문을 만들었다. 교사는 ‘부피를 1000으로 나눴으니 도함수도 1000으로 나눈다’는 답에서 어떤 입력 단위가 빠졌는지 찾아 쓰게 할 수 있다.
출처·착안: Derivadas Aplicaciones Optimización 상자 최적화. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.