A가 일어날 확률은0이다. 학생은 A 뒤에 사건 B의 조건부확률1/2를 적고0×1/2=0이라고 계산했다. 결과0이 맞으면 P(B|A)=1/2라는 표기도 맞는가?
이 정의는 P(A)>0일 때 사용한다. 여기서는 분모가0이고 A∩B의 확률도0이므로0/0을 계산할 수 없다. 어떤 B든1/2라는 조건부확률이 정해지는 것은 아니다.
학생이 구한 P(A∩B)=0이라는 결론은 맞다. A∩B가 A의 일부이고 A의 확률이0이기 때문이다. 그러나 맞는 결론을 얻었다는 사실이 중간의 정의되지 않은 분수를 올바르게 만들지는 않는다.
확률이0인 가지에1/3이나1을 써도 그 수에0을 곱한 결과는0이다. 이 계산으로는 뒤의 숫자를 결정할 수 없다. 같은 최종값을 만드는 여러 표기가 있다는 점을 직접 비교하면 잘못된 조건부확률이 숨는 이유가 드러난다.
교사는 가지를 그린 뒤 확률을 적기 전에 그 조건에서 사건이 일어날 가능성이 양수인지 확인하게 한다. 발생 가능한 가지에서는 조건부 비율을 계산하지만, 확률0인 조건을 “그 경우 중 절반”이라고 해석할 수 없다.
문항의 채점에는 교집합 확률0과 조건부확률 정의 불가를 따로 남긴다. 결론 하나를 모두 틀렸다고 지우면 정확한 포함 관계 판단도 놓친다. 확률의 값과 그 값을 얻는 식의 성립 조건을 함께 확인하는 문제다.
출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.