새 좌표의 정수점 25개가 모두 원래 좌표의 정수점에 대응할까? 역변환을 구한 뒤 실제로 대응하는 점의 수를 세어라. 그림에서는 보이는 점을 정수 조건 없이 전부 세지 않는다.
두 식을 더하고 빼면 역변환이 나온다. x,y가 모두 정수이려면 u+v와 u−v가 모두 짝수여야 한다. 이는 u와 v의 홀짝이 같은 조건이다. 0,1,2,3,4 중 짝수는 세 개, 홀수는 두 개다. 짝수끼리 고르는 9개와 홀수끼리 고르는 4개를 합해 13개다. 예를 들어 (u,v)=(1,0)은 새 좌표의 정수점이지만 원래 좌표에서는 (1/2,1/2)라 제외된다. 실수 좌표에서 역변환이 항상 가능하다는 사실과 정수 격자를 보존한다는 사실은 다르다. 새 격자의 빈칸은 역변환 분모 2에서 생긴다.
교사 질문: 0≤u,v≤5로 바꾸면 홀짝별 점의 수를 먼저 나눈 뒤 총수를 구하게 하자.
출처·착안: Olympiades 2025 Toulouse — Déambulations dans Mathanan. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.