이 극한을 보고 f′(x)도1로 수렴한다고 설명해도 될까? 함수값의 장기적인 비율과 순간 기울기의 극한을 각각 계산한다.
|sinx/x|≤1/x이므로 f(x)/x=1+sinx/x는1로 간다. 함수값이 x에 비해 갖는 상대적인 차는 점점 작아진다.
그러나 f′(x)=1+cosx다. x=2nπ에서는2이고 x=(2n+1)π에서는0이다. 두 입력 모두 한없이 커지는데 서로 다른 값이 남으므로 도함수는 한 값으로 수렴하지 않는다.
또 f(x)−x=sinx도0으로 수렴하지 않는다. 비율이1이라는 사실과 차가0이라는 사실을 같은 말로 쓰지 않는다. 그림에서 폭이 일정한 작은 물결은 전체 높이에 비해 작지만 순간 기울기에는 그대로 영향을 준다.
답안에는 f/x, f−x, f′의 세 식을 따로 적는다. 큰 입력에서 함수값의 상대적 크기가 안정되어도 접선의 기울기가 안정된다는 조건은 추가로 확인해야 한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.