제곱 번호의 항만 0으로 간다면, 빠진 항들도 0으로 갈까?

a_{n^2}\longrightarrow0\qquad(n=1,2,3,\ldots).

이 조건으로 a_n→0을 결론 낼 수 있는지 판정하라. 홀수 번째 항과 짝수 번째 항이 각각0으로 간다는 조건과도 비교한다.

어떤 양의 정수 k의 제곱인 번호에서는 a_n=0, 그 밖의 번호에서는 a_n=1로 정한다. 그러면 a_{n²}=0은 항상 맞다. 그러나 n²+1은 n≥1에서 n²와(n+1)²사이에 있어서 제곱 번호가 아니며 그 항은1이다. 따라서 전체 수열은0으로 가지 않는다.

반면 a_{2n−1}→0, a_{2n}→0이 함께 성립하면 모든 항이0으로 간다. 임의의 작은 ε에 대해 두 종류 각각의 뒤 항이 ε 이내가 되는 번호를 고른 후, 더 큰 번호를 공통으로 사용하면 모든 뒤 항이 둘 중 하나에 포함된다.

a_{n^2}\to0\ \not\Rightarrow\ a_n\to0,\qquad a_{2n-1}\to0,\ a_{2n}\to0\ \Rightarrow\ a_n\to0.

핵심은 확인한 항이 무한히 많다는 사실보다 충분히 뒤의 모든 번호를 포함하는지다. 번호를 드문드문 고른 표와 뒤의 모든 번호를 두 종류로 나눈 표가 서로 다른 증명 범위를 갖는다.