두 좌표축과 같은 거리인 점, 좌표의 부호가 반대여도 된다

l:x=0,\qquad m:y=0,\qquad P=(x,y).

두 직선까지의 거리가 같은 점P의 전체 자취를 구하라. y=x 한 직선이라고 쓴 답에서 어떤 점들이 빠졌는지 확인한다.

P에서 l까지 거리는|x|, m까지 거리는|y|다. 따라서

|x|=|y|\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-y)(x+y)=0.

답은 y=x 또는 y=−x인 두 직선의 합집합이다. 예를 들어(1,−1)은 두 거리가 모두1인데 y=x 위에는 없다.

x=y는 두 좌표의 부호까지 같은 조건이고, 거리의 같음은 부호가 달라도 가능하다. 제곱은 거리의 절댓값을 처리하지만 두 인수 중 적어도 하나가0인 경우를 나누어야 한다. x−y만 남기면 둘째·넷째 사분면의 점들이 사라진다.

원점도 두 거리0으로 포함한다. 원점에서는 두 직선이 만나지만, 만난 점을 제외하라는 조건은 없다. 직선과의 거리가 양수라고 따로 주면 이때만 원점을 제외한다.

각 사분면에서 한 점씩 확인하면(1,1),(−1,1),(−1,−1),(1,−1)이 모두 자취에 속한다. 한 직선만 그린 그림은 이 네 예 중 두 개를 담지 못한다.

교사는 답의 직선 수만 세기보다 거리 공식을 적은 줄과 부호를 없앤 줄을 확인한다. 두 축과의 부호 있는 좌표를 거리로 읽은 오류인지, 인수분해 뒤 한 갈래를 놓친 오류인지 구별할 수 있다. 원래 두 거리식에 대입한 반례 한 점이면 빠진 갈래를 검토하기에 충분하다.

나눗셈으로 y/x를 만들면 원점을 잃을 수 있다. 이 풀이에서는 인수분해만 사용하여 분모 조건을 새로 넣지 않았다. 원점 포함 여부를 마지막에 원래 식으로 확인한다.