두 접점에서 그은 접선의 교점Q와 현 T_tT_s의 중점M을 비교하라. 둘 다 두 접점에서 만든 점이므로 같다는 설명을 검토한다.
접선은 x−ty+t²=0, x−sy+s²=0이다. 식을 빼고 s−t로 나누면 교점은Q=(ts,t+s)다. 중점은M=((t²+s²)/2,t+s)다.
두 점은 높이가 같지만 M이 Q보다 오른쪽에 있다. Q와M은 같지 않다.
두 접선에서 얻은 점은 곡선 위 점도 아니다
Q의 좌표를 포물선의 식에 넣으면 y_Q²−4x_Q=(t−s)²>0이다. 따라서 Q는 포물선 위가 아니다. 접선이 만나는 점을 접점으로 읽는 것도 맞지 않는다.
t=0,s=2이면 접점은(0,0),(4,4), 접선은x=0과x−2y+4=0이다. 교점Q=(0,2), 중점M=(2,2)로 실제 차가2임을 확인한다.
이 비교에서는 t≠s 조건이 식을 나누는 줄과 거리의 양수를 확인하는 줄에 각각 쓰인다. 같은 접점을 두 번 고르면 두 접선은 하나가 되어 고유한 교점Q가 정해지지 않는다.
수업 그림에는 접점·접선 교점·현 중점을 다른 기호로 표시한다. 두 접점의 평균을 구하는 계산을 두 접선 연립 계산의 답으로 가져왔는지 찾을 수 있다. 같은 y좌표라는 일부 정보가 같아도 두 점 전체가 같다는 결론으로 바뀌지 않는다.
Q와 M 사이 선분은 수평이며 길이는 위에서 구한 가로 차와 같다. 길이를 구할 때 다시 두 좌표 차를 모두 복잡하게 제곱할 필요는 없다. 같은 높이라는 정보를 먼저 사용하되 같은 점이라는 결론을 넣지는 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.