사면체를 같은 부피 네 조각으로 나눠도, 높이는 제각각이다

O=(0,0,0),\ A=(6,0,0),\ B=(0,4,0),\ C=(0,0,2),\ G=(3/2,1,1/2)

G와 사면체 OABC의 각 면을 연결해 만든 네 작은 사면체의 부피와, G에서 네 면까지의 거리를 구하라. 부피가 같으면 거리도 같다는 답을 검토한다.

원래 사면체 부피는 (1/3)×12×2=8이다. G를 꼭짓점으로 하고 각 면을 밑면으로 한 작은 사면체의 부피는 모두2다. 하지만 면 OBC,OCA,OAB까지의 거리는 각각3/2,1,1/2다.

남은 면 ABC의 평면은2x+3y+6z=12다. 원점에서 그 평면까지의 거리는12/7이고, G에서의 거리는

\frac{|2(3/2)+3(1)+6(1/2)-12|}{7}=\frac37.

네 거리도 모두 다르다.

각 작은 사면체에서 높이는 같은 밑면을 쓰는 원래 사면체 높이의1/4이다. x=0 면에서는6이3/2로, y=0에서는4가1로, z=0에서는2가1/2로 줄고, 마지막 면에서는12/7이3/7로 줄었다. 그러므로 각 부피도 원래 부피8의1/4이다.

교사는 부피를 비교할 때 밑면을 같게 썼는지 확인한다. 네 작은 사면체끼리는 밑면 넓이가 서로 다르므로, 부피2라는 수치가 같아도 높이는 같을 필요가 없다. 밑면 넓이를 생략한 등식이 오답의 원인이다.

G가 내부에 있다는 조건도 남긴다. 네 꼭짓점 좌표의 평균이며 모든 좌표가 양수이고2x+3y+6z=9<12이므로 내부다. 같은 점에서 만든 네 입체가 원래 사면체를 나누는 상황까지 확인한다.

높이의 비를 비교할 때는 같은 면을 밑면으로 한 두 사면체를 짝짓는다. 작은 사면체끼리의 다른 밑면을 비교하는 것과 계산 기준이 다르다.