양의 정수 a,b,c에 대해 C=(a²+b²+c²)/(a+b+c)라 정의한다. a,b,c가 연속한 등비수열이면 C가 정수라는 성질의 역을 검토하라. C가 정수면 반드시 b²=ac인가?
세 항이 등비수열이면 b²=ac다. 분모가 양수이므로 곱해서 다음 항등식을 확인할 수 있다. (a+c−b)(a+b+c)=a²+c²+2ac−b²다. b²=ac를 넣으면 분자가 되어 C=a+c−b이고 정수다.
하지만 제시한 (1,1,4)에서도 C=3은 정수다. 이웃 비는 1과 4로 같지 않으므로 등비수열이 아니다. 지표 하나가 정수라는 정보에는 분자가 분모의 어느 정수배인지 외에 항 사이 관계가 들어 있지 않다.
그 대신 정확히 어느 정수인지까지 다음 등식으로 주면 원래 관계를 복원할 수 있다.
양수 조건에서는 마지막 등식이 두 이웃 비 b/a와 c/b가 같다는 뜻이다. 교사는 “성질을 만족하니 원래 수열일 것”이라는 역추론을 반례로 먼저 검사하게 한다. 지표의 이름을 외우기보다 정의와 그 지표가 실제로 보존한 정보를 읽는 질문이다.
착안 원문: KöMaL May 2025, C.1860. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.