두 직선을 겹치게 접는 선, 하나뿐일까?

원점을 지나는 직선 y=0과 y=x를 종이의 한 직선 접기로 겹치려 한다. 접는 선도 원점을 지난다. 접는 선의 방향각 θ를 0≤θ<π에서 모두 구하라. 직선의 방향은 반대쪽을 가리켜도 같은 직선으로 센다.

반사 뒤의 각은 접는 선에서 같은 크기로 반대쪽에 놓인다. 처음 선의 방향각이 0이므로 반사된 선의 방향각은 2θ다. 두 번째 선의 방향은 π/4이지만 직선에는 방향 화살표가 없다. π만큼 다른 각도 같은 직선을 나타낸다.

따라서 2θ=π/4만 풀면 절반의 답을 놓친다. 주어진 범위에서 다음 두 방향이 모두 남는다.

두 접는 선은 서로 수직이다. 하나는 작은 각을, 다른 하나는 그 이웃의 큰 각을 반으로 나눈다. 같은 두 직선을 겹쳐도 어느 쪽 종이 조각을 어느 쪽에 놓는지는 달라진다.

교사는 각의 이등분선 하나를 그린 답에 틀렸다는 표시 대신, 직선 y=x의 반대 방향도 허용했는지 묻는다. 여러 절단선을 한 줄로 모으는 활동을 준비할 때에도 접는 선의 선택과 종이의 실제 범위를 따로 확인해야 한다. 이 계산은 무한한 두 직선의 대응만 분류한다.

착안 원문: Cutting Activities. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.