정사각형 타일 위에 바늘을 놓을 때, 줄눈에 닿지 않으려면 대각선으로 놓는 편이 항상 유리할까? 대각선은 더 길지만, 바늘의 중점이 놓일 수 있는 넓이도 함께 살펴야 한다.
한 변의 길이가 a>0인 타일이 평면에 이어진다고 하자. 바늘은 두께 없는 선분이고 길이는 ℓ>0이다. 방향을 먼저 정해 고정한 뒤, 중점의 가로·세로 좌표를 [0,a]에서 서로 독립인 균등분포로 고른다. 끝점이 줄눈에 닿아도 실패로 센다. 실제로 바늘을 던진 관측 자료가 아니라 자체 위치 모형이다.
θ는 가로줄과 이루는 각이다. 대칭으로 이 범위만 비교해도 된다. 질문은 모든 길이 비 t에서, 경계선에 전혀 닿지 않을 확률을 가장 크게 하는 방향을 찾는 것이다.
바늘의 가로 폭은 ℓcosθ, 세로 폭은 ℓsinθ다. 타일 내부에 남으려면 중점의 가로 위치는 양옆에서 각각 가로 폭의 절반만큼 떨어져야 한다. 허용 구간의 길이는 a−ℓcosθ다. 세로에서도 a−ℓsinθ가 남는다. 어느 길이가 0 이하면 성공 확률은 0이다.
곱은 두 좌표의 독립성과 확률의 곱셈정리에서 나온다. 임의 두 영역의 넓이를 무조건 곱한 것이 아니다.
먼저 0<t≤1에서는 두 괄호가 음수가 아니다. s=cosθ+sinθ로 치환하자. 삼각함수의 정의에서 sin²θ+cos²θ=1이므로 s²=1+2sinθcosθ이고 1≤s≤√2다. s는 이 구간의 모든 값을 얻는다.
F_t는 s의 이차항 계수가 양인 이차함수다. 구간 내부의 값은 두 끝값을 잇는 직선보다 엄격히 작으므로, 최댓값은 끝에서 나온다. 이 사실은 두 끝을 가중평균한 s를 대입해 제곱을 전개하면 직접 확인할 수 있다.
s=1은 가로·세로 방향이고 s=√2는 45도 대각선이다. 두 후보의 차는 길이 비가 τ=2(√2−1)을 지날 때 부호가 바뀐다. 짧은 바늘에서는 축 방향이 유리하고, 더 긴 바늘에서는 대각선 방향이 유리하다. 경계에서는 세 방향이 동률이지만 그 사이의 다른 방향은 최적이 아니다.
바늘이 한 변보다 길어지는 1<t<√2도 빠뜨리지 않는다. 확률이 양수이려면 두 투영 폭이 모두 a보다 작아야 한다. θ≤π/4만 보면 양수 영역의 경계는 tcosθ=1이다. 그 경계에서 s₀=(1+√(t²−1))/t, F_t(s₀)=0이고, 대각선의 값은 양수다. 허용 s 구간에 같은 이차함수 논증을 적용하면 대각선만 최적이다. 나머지 각도는 반사 대칭으로 확인한다.
t≥√2이면 어느 각도에서나 가로·세로 투영 중 하나는 a 이상이다. 따라서 모든 방향의 성공 확률이 0이다. 타일 대각선과 같은 길이로 놓더라도 경계에 닿지 않는다는 성공 조건을 만족하지 않는다.
| 길이 비 t | 확률을 가장 크게 하는 방향 |
|---|---|
| 0<t<τ | 가로 또는 세로 |
| t=τ | 가로·세로·45도 대각선 |
| τ<t<√2 | 45도 대각선만 |
| t≥√2 | 모든 방향이 확률 0으로 동률 |
예를 들어 길이가 한 변의 절반이면 축 방향의 확률은 1/2이고 대각선은 그보다 작다. 길이가 한 변과 같으면 축 방향은 0인데 대각선은 (1−1/√2)²다. 가능한 가장 긴 방향을 보는 판단과, 놓일 수 있는 중점 영역을 가장 넓히는 판단의 차이다.
교사는 방향을 고르는 때와 중점을 고르는 때를 분리해 적게 한다. 무작위 방향의 확률을 평균한 공식으로 이번 최적화 문제에 답하지 않는다. 치환 뒤 s의 범위와 투영 폭이 타일 크기에 도달하는 경계도 확인하게 한다.
착안: Hoshiyama, Nakata, Nomura and Okochi, Buffon’s needle on a square lattice의 전체 3쪽을 읽었다. 원문은 무작위 방향에서 교차 횟수와 추정량의 분산을 비교한다. 여기서는 방향을 미리 고르는 절차와 길이 비별 최적 방향을 자체 문항으로 구성했다. 원문의 분산 표·그림이나 문장 순서 번역은 사용하지 않았고, 실제 낙하나 타일 시공 성능을 검증한 결과도 아니다.