컬링 점수는 중심에 가까운 자기 돌의 수를 센다. 가장 가까운 상대 돌보다 거리가 같은 자기 돌은 그 개수에 넣지 않는다. 그렇다면 허용한 거리에서 0점도 되고 2점도 된다면, 가운데 1점도 반드시 될까?
실제 경기 측정 절차를 바꾸는 이야기는 아니다. 모든 돌이 점수를 셀 수 있는 영역에 있다고 전제한 뒤, 거리를 독립적으로 골라 보는 자체 숫자 모형을 정한다. 자기 돌 n개와 상대 돌 m개에서 1≤n,m≤8이다. 자기 거리 Aᵢ는 닫힌 구간 [Lᵢ,Uᵢ], 상대 거리 Bⱼ는 [Vⱼ,Wⱼ]에서 고른다. 모든 끝점은 0 이상이고 왼쪽 끝점은 오른쪽 끝점 이하다. 한 돌의 후보 선택이 다른 돌의 후보를 제한하지 않는다. 이것이 실제 얼음 위 모든 배치가 가능하다는 뜻이나 측정 오차의 통계라는 뜻은 아니다.
K는 자기 팀의 이 비교 개수다. K=0이라고 상대 점수나 전체 경기 점수까지 0이라고 하는 것은 아니다. 모든 구간에서 가능한 K의 최솟값과 최댓값, 그리고 각 정수 k가 실제로 나오는 조건을 구하자.
먼저 자체 예로 자기 돌 두 개의 거리를 모두 1로 고정하고, 상대 돌 한 개의 후보를 [1/2,3/2]로 놓는다.
| 상대 거리 T | 자기 비교 개수 K |
|---|---|
| 1/2≤T≤1 | 0 |
| 1<T≤3/2 | 2 |
상대가 1을 넘어갈 때 자기 돌 두 개가 함께 들어온다. 동거리 T=1에서는 엄격 부등식 때문에 둘 다 세지 않는다. 따라서 치역은 {0,2}이고 1은 없다. 최솟값과 최댓값만 안다고 그 사이의 정수를 전부 답으로 채울 수 없다. 불연속 함수가 중간 값을 건너뛴다는 일반 경고 자체는 이미 알려진 내용이다. 이제 서로 다른 폭의 구간들을 모두 판정해 보자.
상대 최단거리의 가능한 범위는 [t₋,t₊]이고, t₋=min Vⱼ, t₊=min Wⱼ다. 어느 상대 거리도 자기 왼쪽 끝점보다 작을 수 없어 T≥t₋이고, W가 가장 작은 돌이 T≤t₊를 준다. 반대로 그 사이의 t를 정해 Bⱼ=max(Vⱼ,t)로 고르면 모든 구간 안이다. V가 가장 작은 돌은 정확히 t가 되어 최단거리도 t다. 범위의 모든 값과 두 끝점이 실제 나온다.
t를 고정하자. Uᵢ<t인 돌은 어떻게 골라도 센다. Lᵢ≥t인 돌은 어떻게 골라도 세지 않는다. 나머지 Lᵢ<t≤Uᵢ인 돌은 왼쪽 끝점을 골라 세거나 오른쪽 끝점을 골라 빼면 된다. 따라서 f(t)=#{i:Uᵢ<t}, p(t)=#{i:Lᵢ<t}라 두면 가능한 개수는 f(t)부터 p(t)까지의 정수 전부다. 구간이 한 점이거나 끝점이 t와 같아도 이 구분이 유지된다.
전체 최솟값은 #{i:Uᵢ<t₋}, 최댓값은 #{i:Lᵢ<t₊}다. 전자는 모든 자기 거리를 오른쪽 끝점, 상대 최단거리를 t₋로 택해 달성한다. 후자는 모든 자기 거리를 왼쪽 끝점, 상대 최단거리를 t₊로 택해 달성한다. 두 끝의 달성 증명만으로 가운데 정수의 달성까지 증명한 것은 아니다.
각 k를 판정하려면 자기 구간의 왼쪽 끝점들만 작은 순서로 정렬한 L₍₁₎,…,L₍ₙ₎과, 오른쪽 끝점들만 따로 정렬한 U₍₁₎,…,U₍ₙ₎을 쓴다. 두 정렬에서 같은 번호가 같은 돌을 가리킬 필요는 없다. 편의상 L₍₀₎=−∞, U₍ₙ₊₁₎=∞다.
왜 마지막 부등호만 엄격할까? 고정 t에서 p(t)≥k는 L₍k₎<t와 같고, f(t)≤k는 t≤U₍k+1₎과 같다. k=0과 k=n도 앞의 무한 끝점 약속으로 포함된다. 따라서 필요한 t는 t₋≤t≤Mₖ와 L₍k₎<t를 동시에 만족해야 한다. 이런 t가 있으면 두 조건은 필요하다. 반대로 두 조건이 맞으면 t=Mₖ를 택하고, 고정 t에서 선택 가능한 돌 중 알맞은 수를 골라 정확히 k를 만든다. 이로써 모든 구간에서 필요충분조건이 증명되었다.
앞의 자기 거리 1,1에서는 k=1의 L₍1₎와 U₍2₎가 모두 1이다. M₁=1이므로 L₍1₎<M₁에서 탈락한다. 상대 구간을 아주 넓혀도 이 동시 진입 사이에 한 돌만 세는 구간은 생기지 않는다. 반면 자기 돌 하나의 후보를 [9/10,11/10]으로 바꾸면 t=1에서 그 돌을 9/10으로, 다른 고정 돌을 1로 골라 K=1을 만든다. 끝점을 나열한 뒤 실제 선택도 확인할 수 있다.
교사는 가능한 점수의 양 끝과 실제 점수 목록을 서로 다른 칸에 적게 한다. 각 k가 탈락했다면 Mₖ의 어느 부등식이 실패했는지 남긴다. 공식 규칙의 엄격한 비교, 함수의 치역, 구간의 끝점 포함을 한꺼번에 대충 넘기지 않는 질문이다. 정렬이나 함수의 기본 정의를 새로운 발견으로 소개하는 글은 아니다.
착안: World Curling, Rules of Curling 2026, R12 Scoring, PDF18–19쪽. 상대보다 엄격히 가까운 돌의 비교와 동거리 처리 관점만 사용했다. 독립 거리 후보·자체 수치·전범위 치역 판정은 별도 교육용 모형이며 실제 측정 오차, 공식 심판 절차, 승률 또는 모든 물리 배치의 실현을 검증한 자료가 아니다.