동전을 많이 던질수록 흔들림은 줄까? 횟수와 비율은 반대다

공정한 동전을 서로 독립으로 $n$번 던진 앞면 수를 $X_n$이라 한다. $n$은 자연수다.

$n=4$와 $n=16$에서 $X_n$과 $R_n$의 표준편차를 비교하라. “많이 던질수록 결과가 덜 흔들린다”에서 결과가 무엇인지 확인하는 문항이다.

시행 수가 네 배가 되면 횟수의 표준편차는 두 배가 되지만, 비율의 표준편차는 절반이 된다. 덜 흔들린다는 문장에 비율이라는 대상을 남겨야 두 계산이 충돌하지 않는다.

교사는 두 그래프의 가로축에 각각 앞면 수와 앞면 비율을 적는다. 두 축을 같은 범위로 그리거나 축 이름을 생략하면 폭만 보고 반대 결론을 내리기 쉽다. 평균도 앞면 수에서는 2와 8, 비율에서는 둘 다 $1/2$임을 함께 기록한다.

학생이 $V(R_n)=V(X_n)/n$이라고 쓰면, 분산의 실수배에는 계수의 제곱이 적용된다는 줄을 확인한다. 표준편차를 구할 때에야 계수 $1/n$이 한 번 곱해진다.

후속 질문은 “앞면 수가 평균보다 2 많다”라는 결과를 두 실험의 비율로 바꿔 보게 한다. 4회에서는 비율이 $1/2$만큼,16회에서는 $1/8$만큼 평균에서 벗어난다. 같은 횟수 차이가 같은 비율 차이는 아니다.

표준편차가 작아졌다고 모든 16회 기록이 모든 4회 기록보다 평균에 가깝다는 뜻은 아니다. 분포의 퍼짐을 비교한 결론으로 읽어야 한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.