나눌 자리가 늘었는데, 한 집단의 자리는 왜 줄어들까?

세 집단의 규모는 5, 3, 1이다. H개의 같은 자리를 비례 배분한다. 먼저 아래 이상적 몫의 정수 부분을 주고, 남은 자리는 소수 부분이 큰 집단부터 하나씩 준다. 집단마다 최소 한 자리를 주는 조건은 없다. H=4와 5의 결과를 비교하라. 이어 규모 (2k+1,2k−1,1), 정수 k≥2에서도 총 자리 2k를 2k+1로 늘리면 같은 현상이 생기는지 증명하라.

⌊q⌋는 q 이하의 가장 큰 정수다.

첫 배분은 정수 부분의 합 3 뒤에 한 자리, 다음 배분은 같은 합 3 뒤에 두 자리를 더한다.

모든 이상적 몫은 커졌는데 세 번째 실제 몫은 1에서 0으로 줄었다. 총 자리가 바뀌면 소수 부분의 순위를 처음부터 다시 매긴다는 점이 원인이다.

일반 가족의 합은 4k+1이다. 총 자리 2k에서 정수 부분은 (k,k−1,0), 소수 부분의 분자는 (k,k+1,2k)다. k≥2이면 마지막이 가장 커 한 자리를 받는다. 총 자리 2k+1에서는 같은 정수 부분과 소수 부분 분자 (3k+1,3k,2k+1)를 얻는다. 이제 앞 두 집단이 남은 두 자리를 받는다.

단 하나의 소수 근삿값 때문에 생긴 오류가 아니라 정확한 분수 순위가 바뀌는 현상이다.

Census의 Hamilton 규칙과 총 자리 증가 때 감소 가능한 현상을 읽고 자체 정수 가족의 직접 증명을 만들었다. 실제 주별 인구·현행 의석 수를 대입한 표가 아니다. 최소 한 자리 보장 조건을 뺀 교실 자원 배분 모형이라는 범위도 남긴다.

교사는 이상적 비례 몫의 증가와 최종 정수 몫의 증가를 다른 표에서 검사하게 한다. 반올림이 각각의 작은 오차라는 말만으로 전체 총량 제약과 잔여 순위 변경을 설명할 수 없다. 일반 k 식은 몇 예만 보아 항상 성립한다고 추측한 뒤 남기는 증명이 아니다.

착안 원문: U.S. Census Bureau: Historical Perspective. 세 집단의 규모와 정수 가족·배분 표는 자체 구성했으며 실제 주별 인구나 의석 수를 보고한 것이 아니다.