단위를 정규화한 조화 운동은 x′=v,v′=−x이며 정확한 운동에서는 E=x²+v²가 일정하다. 자체 근사 규칙은 두 갱신 모두 이전 값을 사용한다. x₀=1,v₀=0이고 단계 간격 h>0이다. h를 고정한 채 반복하는 경우와, 총시간 1을 m 등분해 h=1/m으로 m 번 반복하는 경우의 E를 비교하라. 두 경우 모두 단계 수가 늘어나므로 같은 결과인가?
두 제곱을 전개하면 교차항은 지워지고 새 제곱합은 이전 제곱합의 (1+h²)배다. E₀=1이므로 고정 h에서는 n 번 뒤에는 Eₙ=(1+h²)ⁿ이고 공비가 1보다 커 무한히 커진다. 실제 운동의 에너지 1을 보존하지 않는다.
총시간 1을 m 등분한 계산은 m 번 후 E_m=(1+1/m²)^m이다. 이때 h까지 함께 바뀐다. m>1에서 이항계수 C(m,k)≤m^k를 쓰면
따라서 고정한 마지막 시각에서 에너지 오차는 0으로 줄어든다. 같은 점화식이라도 고정 h·긴 시간의 에너지 발산과 고정 시간·작은 h의 에너지 수렴은 동시에 성립한다. 에너지라는 한 양의 극한을 보인 것이며 위치·속도 전체의 오차나 모든 다른 장기 알고리즘을 검증한 결론은 아니다.
Hairer의 실제 강의는 연속 운동의 에너지 보존과 explicit Euler 갱신을 따로 제시한다. 현재 조화 모형과 두 반복 극한은 원문의 double-well 실험을 옮기지 않고 제곱의 전개와 이항계수의 상계로 직접 계산했다.
교사는 “n을 늘린다” 옆에 h와 종료 시각 nh 중 어느 것을 고정했는지 적게 한다. 같은 초기 상태와 같은 갱신식만으로 같은 실험이라고 볼 수 없다. 작은 한 시각 오차를 근거로 임의로 긴 시간의 에너지 보존까지 확장하지 않는다.
착안 원문: Ernst Hairer, Geometric Numerical Integration, introductory lecture notes (TU München winter2009/10). 조화 운동의 두 갱신 규칙과 에너지 극한 계산은 자체 문항이며 원문의 double-well 실험이나 실제 장치 성능을 재현한 것이 아니다.