평면의 한 점에서 세 힘 벡터 u,v,w가 작용하며 u+v+w=0이다. |u|=|v|=1,|w|=c>0으로 준다. 세 방향이 한 직선에 놓이지 않는 평형은 어느 c에서 가능한가? u와 v 사이 작은 각θ도 구하라. 비누막의 실제 장력을 측정한 자료가 아닌 이상화된 벡터 모델이다.
세 방향이 달라도 세 장력의 크기가 같다는 조건은 자동으로 생기지 않는다. 세 힘의 합을0으로 놓으면 w=−(u+v)이고, 내적으로 제곱한 길이를 전개하여 각을 구할 수 있다.
비공선 평형에서는 θ가0도나180도가 될 수 없다. 코사인의 범위가 열린 구간이라는 점까지 남긴다.
이 범위의 c에는 해당 θ를 골라 u=(1,0),v=(cosθ,sinθ),w=−u−v로 실제 힘을 구성할 수 있다. 필요조건만 확인하고 존재를 끝내지 않았다. c=2는 합의 최대 길이에 해당해 두 힘이 같은 방향으로 붙고, c>2는 두 길이1의 합으로 만들 수 없다.
교사는120도를 외운 답에 그 각이 어떤 크기 조건에서 나오는지 묻는다. 크기가 같은 세 벡터의 합0에서 얻는 기존 정삼각형 논증과 가깝지만, 이 문항의 중심은 장력 하나를 바꿀 때 각과 비퇴화 평형의 존재가 어떻게 달라지는가다. 실제 비누막의 물리적 안정성을 이 계산만으로 판정하지 않는다.
착안 원문: Soap Bubbles. 문항의 좌표·조건·논증은 새로 구성했다. 원문 도판이나 활동 지시의 번역이 아니다.