수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

점수에 −2를 곱해도 표준편차는 음수가 되지 않는다

Y=5-2X에서 음의 계수는 순서를 뒤집습니다. 평균3,분산4,표준편차2. 표준편차에는 -2가 아니라 |-2|가 곱해집니다.

양쪽 접시가 서로 다른 높이에 놓인 작은 저울

사진: Roger Culos · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

P(X=0)=P(X=2)=12Y=5−2X \begin{aligned} P(X=0)&=P(X=2)=\frac12\\ Y&=5-2X \end{aligned}

점수 XX에 새 채점 규칙을 적용해 YY를 정했다. YY의 평균·분산·표준편차를 구하고, 표준편차가 −2-2라는 답을 검토하라.

XX 0 2
YY 5 1
확률 1/21/2 1/21/2
E(Y)=3V(Y)=(5−3)2+(1−3)22=4σ(Y)=2 \begin{aligned} E(Y)&=3\\ V(Y)&=\frac{(5-3)^2+(1-3)^2}{2}=4\\ \sigma(Y)&=2 \end{aligned}

원래 점수의 평균은1,분산은1이다. 음의 계수는 점수의 크기 순서를 뒤집지만 퍼짐의 크기를 음수로 만들지는 않는다. 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이다.

E(5−2X)=5−2E(X)V(5−2X)=(−2)2V(X) \begin{aligned} E(5-2X)&=5-2E(X)\\ V(5-2X)&=(-2)^2V(X) \end{aligned}

평균에는 상수5가 남고, 분산에는 남지 않는다. 표준편차에는 계수의 절댓값2가 곱해진다. 세 공식에서 괄호 밖으로 나오는 항을 똑같이 처리한 오답을 이 표로 구별할 수 있다.

교사는 공식을 적기 전에 가능한 새 점수1과5를 먼저 쓰게 한다. 평균3을 중심으로 양쪽이2만큼 떨어져 있다는 확인이 있으면 음의 표준편차라는 답이 왜 불가능한지 설명하기 쉽다.

후속 규칙을 Z=Y+10Z=Y+10으로 바꾸면 평균13,분산4,표준편차2다. 모든 점수에 같은 수를 더하면 점수와 평균이 함께 움직여 편차는 그대로라는 이유를 학생이 한 줄로 남긴다.

답안에 음의 평균이 나오는 것 자체는 오류가 아니라고 덧붙인다. 문제는 음수가 허용되는 양과 허용되지 않는 양을 구별하는 데 있다. 평균·분산·표준편차를 각각 이름과 함께 적는 준비가 필요하다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Probability Bingo Game」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.