표본 평균은 4였지만, 원래 세 값의 평균은 2다

모집단 값 0·2·4 중 같은 확률로 복원추출하여 두 값을 서로 독립으로 뽑는다. 평균을 $\overline X$ 라 한다. 한 표본에서 $\overline X=4$ 를 얻었다. 모집단 평균이4라는 주장과, $E(\overline X)=2$ 라는 주장을 각각 판단하라.

\begin{aligned} \overline X &:0,1,2,3,4\\ P &: \frac19,\frac29,\frac39,\frac29,\frac19 \end{aligned}

E(\overline X)=\frac{0+2+6+6+4}{9}=2

모집단 평균은 $(0+2+4)/3=2$ 다. 표본평균4는4와4를 뽑았을 때 가능한 관찰값이며, 그 확률은 $1/9$ 이다. 가능한 한 표본의 평균을 모집단 전체의 평균과 같다고 확정할 수 없다.

교사는 ‘표본평균’과 ‘표본평균의 평균’을 답안의 다른 칸에 적게 한다. 전자는 이번에 뽑은 두 수의 평균이고, 후자는 같은 추출을 반복할 때 생기는 표본평균들의 확률분포로 계산한 값이다.

세 가지 값 중 두 번 뽑는 순서 있는 결과는 아홉 개다. $(0,4),(2,2),(4,0)$ 이 같은 평균2를 만들어 세 칸이 합쳐진다. 평균의 종류 다섯 개를 같은 확률로 취급하면 이 분포를 놓친다.

후속 질문은 “서로 다른 두 장을 돌려놓지 않고 뽑으면 평균4가 가능한가”로 바꾼다. 이 경우 평균은1,2,3만 가능하므로 평균4는 불가능하다. 추출 조건이 가능한 표본부터 바꾼다는 점을 함께 확인한다.

두 추출에서 표본평균의 평균은 모두2이지만, 가능한 값과 확률분포는 다르다. 평균 하나가 같다는 사실만으로 두 추출을 같은 실험으로 보면 안 된다.

출처·착안: Mark Chubb, 「From Experimental to Theoretical Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.