a의 부호와 f(x)=0의 두 근이 놓이는 구간을 판단하라. 그래프를 정확히 그리지 않아도 반드시 성립하는 결론은 무엇인가? a≠0을 별도로 주지 않았다는 점도 검토한다.
f(−1)=a−b+c, f(2)=4a+2b+c이므로 이 둘에 각각 2/3와 1/3을 곱해 더하면 2a+c이다. 여기서 f(0)=c를 빼면 2a가 남는다. 두 양수의 가중합에서 음수를 뺀 값은 양수이므로 a>0이다. 또한 다항식은 연속이므로 −1과 0 사이, 0과 2 사이에서 각각 0을 지난다. 두 구간이 겹치지 않아 서로 다른 두 근이고, a>0인 이차식에는 세 번째 실근이 없다. 식의 계수 전체나 근의 정확한 값은 알 수 없지만 방향과 근의 위치는 확정할 수 있다. 이차함수의 그래프가 세 지점에서 갖는 부호를 서로 다른 두 근의 존재와 연결한다.
교사 질문: 정확한 근을 모르므로 아무 결론도 낼 수 없다는 답에, 부호 변화가 보장하는 정보를 찾아보게 하자.
출처·착안: Discriminating. 위 문항의 조건·수치·풀이와 교사 질문은 새로 작성했다.