카드 네 장의 점수는1,1,3,3이다. 네 장 중 한 장을 같은 확률로 골라 점수 X를 얻는다. 계산 프로그램은 평균2, 평균에서 떨어진 값의 제곱합4를 얻은 뒤4/3을 출력했다. 이것이 X의 분산인가?
분산은 각 차의 제곱을 그 값의 확률로 평균한 수이므로
4/3이 아니다.
어떤 분산을 구하라는 질문인가
네 카드를 하나씩 쓰면 같은 계산은{1+1+1+1}/4=1이다. 이미 각 카드가 선택될 확률을1/4로 주었으므로 분모를3으로 바꿀 근거가 없다. 이번 문제는 알려진 네 카드의 확률분포에서 분산을 구한다.
프로그램의 다른 목적 계산에 분모3이 쓰일 수 있다는 사실과 이번 확률변수의 분산이4/3이라는 주장은 다르다. 기능 이름만 믿지 말고 실제 분모와 계산 대상을 확인해야 한다.
네 장을 두 점수1,3으로 묶으면 각 값의 확률은1/2다. 이를 두 자료니까 분모를1로 바꾸어 계산하는 것도 잘못이다. 중복 점수를 묶을 때 값의 수뿐 아니라 각 값에 붙은 확률을 보존한다.
수업에서는 프로그램 출력과 교재의 확률분포 식을 나란히 적게 한다. 입력 자료가 네 점수라는 사실만으로 어떤 목적의 함수도 같은 분산을 반환하는 것은 아니다. 평균에서의 차4개가 모두±1임을 확인하면 계산식의 분모 오류를 학생도 손으로 검산할 수 있다. 이번 문항의 분산은 확률 가중 평균이라는 정의에서 정한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Spreadsheets, statistics, mathematics and computational thinking」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.