모든 성분은 실수이며 O는2행2열 영행렬이다. A와 B가 모두 영행렬이어야 하는지 판정하라. 두 행렬의 성분이 독립적으로 주어지지 않았다는 점을 읽는다.
곱의1행1열은 a²+b²+c²이고2행2열은 d²+e²+f²다. 둘 다0이어야 하며 실수의 제곱은0 이상이므로 여섯 성분이 모두0이다. 따라서 A와B는 각각의 크기의 영행렬이다.
곱이0이라는 사실만으로 두 행렬이0인 것은 아니다. 이번 결론은 B의 열이 A의 같은 행을 옮겨 놓은 정확한 관계와 실수 조건을 사용한다.
복소수 성분을 허용하면 a=1,b=i이고 나머지 성분이0인 경우 a²+b²=0이다. 이때 AB=O이지만 A와B는0이 아니다. 제곱이0 이상이라는 줄이 더는 성립하지 않는다.
학생이 앞서 본 영행렬 곱의 반례만 기억해 거짓이라고 답하면, 두 행렬 사이의 성분 관계를 실제 곱의 대각선 칸에 표시하게 한다. 반대로 참이라고 답한 경우에도 실수라는 가정이 어느 줄에 쓰였는지 적게 한다.
출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.