f(sin x)=x는 실수 전체에서는 함수 조건과 충돌한다

f:[-1,1]\to\mathbb R,\qquad f(\sin x)=x\quad(x\in\mathbb R)

이런 함수 f가 존재할까? 같은 함수값을 만드는 두 입력을 찾자.

\sin0=\sin\pi=0.

x=0을 넣으면 f(0)=0, x=π를 넣으면 f(0)=π가 필요하다. 하나의 입력에 함수값 둘을 줄 수 없으므로 존재하지 않는다.

x의 범위를 [−π/2,π/2]로 제한하면 결과가 달라진다. sin은 그 구간에서 증가하고, −1부터 1까지의 값을 모두 갖는다. 같은 sin 값에 서로 다른 x가 대응하지 않으므로 이 범위에서는 되돌리는 함수를 정의할 수 있다.

x의 범위	판정의 근거
실수 전체	0, π가 같은 sin 값
[−π/2,π/2]	각 sin 값에 x 하나

f의 식을 먼저 찾기보다 안쪽 함수의 값이 겹치는지 확인한다. 범위를 제한한 뒤에는 일대일 조건과 치역 [-1,1]을 모두 남긴다.