쌍곡선과 점근선 사이, 0에 가까워져도 가장 가까운 점은 없다

H:x^2-y^2=1,\qquad l:y=x.

H 위 점P에서 점근선l까지 거리의 최솟값이0이라는 답을 검토하라. 실제로 거리0인 점이 있는지도 확인한다.

거리 공식에서

d(P,l)=\frac{|x-y|}{\sqrt2}.

쌍곡선의 식은(x−y)(x+y)=1이다. 따라서 x−y는0이 아니므로 모든 P에서 거리는 양수다.0을 얻는 점은 없다.

t>0에서 x+y=t,x−y=1/t로 정한다. 그러면

P_t=\left(\frac{t+1/t}{2},\frac{t-1/t}{2}\right)\in H, \qquad d(P_t,l)=\frac1{\sqrt2t}.

t를 두 배로 하면 거리는 절반이 된다. 어떤 양의 후보를 최솟값이라고 골라도 더 작은 거리를 만드는 실제 점이 있으므로 양의 최솟값도 없다.

결론은 최솟값이 존재하지 않는다는 것이다. 거리0에 원하는 만큼 가까워질 수 있다는 설명과 거리0을 실제 얻었다는 설명을 구별한다. 점근선을 곡선의 일부로 넣으면 원래 방정식을 만족하지 않는 점을 답에 포함하게 된다.

해설은 “만나지 않는다”라는 사실만으로 끝내지 않는다. 만나지 않는 두 도형 사이 거리의 최솟값이 양수일 수도 있다. 이 예에서는 모든 점의 거리 양수와 더 작게 만드는 점의 구성 두 부분이 함께 필요하다.

학생에게 t=1,2,4의 실제 점을 넣어 식과 거리 둘을 검산하게 한다. 그림의 끝부분이 붙어 보이는 인상보다 선택한 점의 정확한 거리와 그다음 점의 거리 비교를 남긴다.

t=1에서는 P=(1,0)이고 거리1/√2다. 이 한 점을 가장 가까운 점으로 골랐다면 t=2에서 거리1/(2√2)가 된다는 계산으로 바로 반박할 수 있다. 그림에서 표시한 점의 개수가 유한하다는 제한을 원래 곡선 조건에 추가하지 않는다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.