f는 실수 전체에서 연속이다. 실수 전체에서 실제로 최솟값을 얻는 입력이 존재함을 증명하라. 함수식과 도함수는 주어지지 않는다.
두 극한 조건으로 양수 R을 충분히 크게 골라 |x|>R이면 f(x)>f(0)+1이 되게 할 수 있다. [−R,R]에서 f는 연속이므로 어느 c에서 이 구간의 최솟값을 얻는다.0도 이 구간에 있어서 f(c)≤f(0)이다.
구간 밖에서는 f(x)>f(0)+1>f(c)다. 따라서 안에서 얻은 최솟값 f(c)가 실수 전체에서도 최솟값이다. 무한히 넓은 정의역을 직접 끝까지 조사하는 대신, 더 작은 값이 나올 수 있는 곳을 닫힌구간 안에 가두었다.
양의 방향 극한 하나만으로는 부족하다. f(x)=e^x는 연속이고 x→∞에서 한없이 커지지만 모든 값이 양수이며 음의 방향에서0에 가까워진다. 실수 입력에서 최솟값0을 얻지는 않는다.
채점에서는 R을 고를 수 있는 두 방향의 조건, 닫힌구간에서의 최솟값 존재, 구간 밖의 값과 비교한 줄을 요구한다. 미분계수0인 후보를 찾지 못해도 존재를 증명할 수 있는 문제다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.