수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

점 P가 벡터식에서 사라졌다, 해가 없을까 모든 점일까?

C=(1,3)에서 t≠2이면 P=((4−t)/(2−t),−3t/(2−t)) 하나, t=2이면 해가 없다. C만 M=(2,0)으로 바꾸고 t=2이면 좌표평면의 모든 P가 해다.

실제 금속 컴퍼스의 두 다리와 연결부

사진: R. Henrik Nilsson · CC BY 4.0 · 원본 출처

A(0,0),B(4,0),C(1,3),PA→+PB→−tPC→=0⃗.A(0,0),\quad B(4,0),\quad C(1,3),\qquad \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}-t\overrightarrow{PC}=\vec0.

t는 실수이고 P는 좌표평면의 점이다. t에 따라 가능한 P를 모두 구하라. t=2일 때 C만 AB의 중점 M(2,0)으로 바꾸면 결과는 어떻게 달라지는가?

P=(x,y)로 놓고 각 벡터를 종점에서 시점을 빼서 적는다. 원래의 식은 다음과 같다.

(−x,−y)+(4−x,−y)−t(1−x,3−y)=(0,0),(2−t)(x,y)=(4−t,−3t).\begin{aligned} (-x,-y)+(4-x,-y)-t(1-x,3-y)&=(0,0),\\ (2-t)(x,y)&=(4-t,-3t). \end{aligned}

t≠2이면 두 성분을 2−t로 나눌 수 있으므로

P(4−t2−t,−3t2−t)\boxed{P\left(\frac{4-t}{2-t},\frac{-3t}{2-t}\right)}

하나뿐이다. t=1에서는 P=(3,−3)이고 원래 세 벡터에 넣어도 합이 영벡터다.

t=2이면 왼쪽은 영벡터지만 오른쪽은 (2,−6)이다. 따라서 어떤 P도 조건을 만족하지 않는다. 분모가 0이니 P를 구할 수 없다는 말에서 끝내지 않고 남은 두 성분의 모순을 확인한다.

반면 C를 M(2,0)으로 바꾸고 t=2를 넣으면 식은 0(x,y)=(0,0)이 된다. 이때는 좌표평면의 모든 P가 해다. 시점 P가 사라진다는 사실만으로 해가 없다고 단정할 수도 없다. 2−t로 나누기 전에 t=2를 남기고, 남은 벡터가 영벡터인지 비교하는 줄을 채점한다.

출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.