함수는 늘 양수인데, 3에서 1로 적분하면 음수다

\int_3^1(x^2+1)\,dx

“함수가 양수이므로 적분도 양수”라는 예시 답안을 검토하자.

F(x)=\frac{x^3}3+x,\qquad F(1)=\frac43,\quad F(3)=12.

\int_3^1(x^2+1)\,dx=F(1)-F(3)=\boxed{-\frac{32}3}.

1과 3 사이 영역의 넓이는 $32/3$ 으로 양수다. 주어진 정적분은 아래끝 3, 위끝 1이므로 그 넓이의 음수가 된다.

자료에는 넓이와 정적분을 별도 줄에 표시하자. 함수의 양수 조건만 보고 부호를 결정한 답에는 두 끝의 순서를 먼저 적게 한다. 음수라는 이유로 답을 고치기 전에 무엇을 계산했는지 확인한다.

출처·착안: Integration by Parts 2. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.