좌표에 t³를 썼다고 직선이 곡선으로 바뀌는 것은 아니다

P_t=(t^3,2t^3,1),\quad Q_t=(t^2,2t^2,1),\qquad t\in\mathbb R.

두 점의 집합을 비교하라. 좌표가 일차식이 아니므로 둘 다 직선이 아니라는 설명을 검토한다.

P_t에서 u=t³라 하면 u는 모든 실수를 갖는다. 따라서 P의 전체 집합은 (u,2u,1), u∈R로 나타나는 직선이다. 방향벡터는 (1,2,0)이고 (0,0,1)을 지난다.

Q_t에서 v=t²라 하면 v≥0이다. 따라서 Q는 같은 직선 중 x≥0인 부분만 나타낸다.

\{P_t\}=\{(u,2u,1):u\in\mathbb R\}, \quad\{Q_t\}=\{(v,2v,1):v\ge0\}.

예를 들어 (−1,−2,1)은 P₋₁이지만 어느 Q_t도 될 수 없다.

두 표현 모두 y=2x,z=1을 만족한다. 하지만 이 두 식을 만족하는 모든 점을 원래 문자로 얻는지는 각각 다르다. t³는 음수 x도 만들지만 t²는 만들지 못한다.

Q에서 t=1과 t=−1은 같은 점 (1,2,1)을 만든다. 중복해서 표현한 점을 두 개로 세지는 않는다. 또 음수 t가 허용된다는 사실이 음수 x까지 허용한다는 뜻도 아니다.

직선의 기본형으로 고쳐 쓸 수 있는지와 원래 표현이 직선 전체를 나타내는지를 따로 묻는다. 이 예에서는 t에 관한 일차식이 아닌 식이 같은 직선의 점들을 다른 순서와 범위로 표시했다.

채점에서는 새 문자의 범위를 남기게 한다. u,v를 소개한 뒤 모두 실수라고 적어 버리면 둘째 표현에 없는 점들을 추가하게 된다. 도형의 방정식과 허용 범위를 동시에 확인하는 한 줄이 필요하다.

같은 직선 위에 놓인다는 사실만으로 두 점의 집합이 같지는 않다. 허용되지 않는 음수 좌표 하나를 직접 제시하면 포함 관계를 확인할 수 있다. 좌표식과 범위를 함께 적은 답이 필요하다.