F=0과 G=0은 원이다. 모든 실수λ에서 결합한 식도 원이라는 답을 검토하라. 각 도형이 공통으로 지나는 점도 구한다.
결합한 식은
λ=−1에서는 제곱항이 모두 사라져 y=x인 직선이 된다. 이 값을 빼고1+λ로 나누면 중심은(2/(1+λ),2λ/(1+λ)), 반지름 제곱은4(1+λ²)/(1+λ)²인 원이다.
먼저 나눌 수 있는지를 확인한다
반지름 제곱의 분자는 언제나 양수다. λ≠−1인 모든 경우에는 실제 원이 있다. 하지만 이 공식의 분모0을 “반지름이 매우 큰 원”이라고 바꾸어 원이라고 부르지 않는다. 원래 결합식에서 λ=−1을 직접 처리해야 한다.
두 원의 공통점은 식을 빼서 x=y를 얻고 대입하여 x(x−2)=0에서 O=(0,0), Q=(2,2)다. F와G가 동시에0이면 F+λG도0이므로 두 점은 모든 λ의 도형에 속한다. λ=−1의 직선도 두 점을 지난다.
해설에는 공통점을 지나는 성질과 도형의 종류를 별도 문장으로 적는다. 공통점을 두 개 지나므로 반드시 원이라는 결론은 나오지 않는다. 제곱항의 존재를 확인하기 전에 원의 중심 공식으로 들어간 답은 예외값을 놓친 것이다.
문항 표에는 λ=0,1,−1을 넣는다. 앞 두 원의 중심은(2,0),(1,1)이고 마지막은 직선이다. 단순한 모양 추측보다 같은 결합식의 계수가 어느 값에서 사라지는지 확인하도록 한다.
제곱항의 계수가 같다는 사실과 그 계수가0이 아니라는 조건을 따로 적는다. 계수가 같은0이 되어도 원이라고 읽으면 예외를 놓친다. 완전제곱을 만드는 나눗셈 전에 원래 계수를 검사한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.