a에 따라 실수해를 구하라. 양수인 밑이면 항상 x²≤x로 바꿔도 될까?
| 밑 | 지수 비교 | 실수해 |
|---|---|---|
| a>1 | x²≤x | 0≤x≤1 |
| 0<a<1 | x²≥x | x≤0 또는 x≥1 |
| a=1 | 두 변이 모두 1 | 실수 전체 |
a>1에서는 지수함수가 증가하고 0<a<1에서는 감소하므로 비교 방향이 반대다. a=1은 어느 방향도 아니며 따로 남긴다.
x=0,1에서는 지수가 같아 모든 양수 밑에서 등호가 성립한다. x=1/2에서는 x²<x이므로 밑이 2이면 참, 1/2이면 거짓이다. 같은 지수의 대입으로 방향을 확인할 수 있다.
지수부의 이차부등식 풀이가 맞아도, 밑의 조건 없이 그 식으로 바꾼 줄은 옳지 않을 수 있다. 채점할 때는 변환한 부등식 옆에 증가·감소를 사용한 조건이 적혀 있는지 확인한다.
출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.