모든 실수 x에서 P_t(x)≥0이 성립할 t의 범위를 구한다. u=x²로 치환한 이차식에 판별식 조건만 사용해 |t|≤1이라고 쓴 답을 검토한다.
u는 모든 실수가 아니라0 이상이다. t≤0이면 u²−2tu+1의 각 항이0 이상이고 마지막1이 남으므로 항상 양수다. 따라서 t=−2도 가능하여 |t|≤1이라는 답은 부족하다.
t>0에서는 꼭짓점 u=t가 허용 입력에 속한다. 완전제곱으로 쓰면 다음과 같다.
최솟값1−t²이0 이상이어야 하므로0<t≤1이다. 두 경우를 합하면 정답은 t≤1이다. t=1에서는 x=±1에서0이 실제로 나온다.
판별식으로 모든 실수 u에서의 부호를 판정하면 음수 u까지 포함한 더 강한 조건을 구한 셈이다. 치환한 변수가 어디까지 움직이는지 먼저 적고, 꼭짓점이 그 범위 안인지 확인해야 원래 문제의 정확한 조건을 얻는다.
출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising Harder Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.