이 조건에서 g(f(x))=x도 성립하는지 판단한다. a,b,c는 서로 다른 원소다. 한쪽에서 되돌린다는 사실에 더해 같은 유한집합이라는 조건이 어떻게 쓰이는지 확인한다.
g(a),g(b),g(c)는 서로 다르다. 두 값이 같으면 f를 적용한 결과도 같아 a,b,c 중 두 원소가 같아지기 때문이다. 세 값이 모두 X 안에 있고 서로 다르므로 X의 세 원소를 전부 차지한다.
임의의 y∈X는 y=g(x)로 나타낼 수 있다. 그러면 다음과 같다.
따라서 다른 쪽 합성도 항등함수다. 같은 원소 수를 가진 유한집합에서 중복 없이 들어가면 빠진 원소도 없다는 단계가 핵심이다.
f와 g의 표를 따로 세 줄씩 완성하는 방법도 가능하지만, 계산 예 하나가 모든 함수의 증명은 아니다. 대상을 실수 전체로 바꾸면 위 원소 수 논리를 사용할 수 없다. 문항에서 유한집합이라는 조건을 삭제할 때 결론까지 유지되는지 별도로 검토해야 한다.
출처·착안: banderson02, 「Always, Sometimes, Never Shapes」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.