넓이와 대각선 길이를 함께 정했더니, 직사각형이 존재하지 않는다

a>0,\quad b>0,\qquad ab=6,\qquad a^2+b^2=10.

가로a, 세로b인 직사각형의 넓이가6이고 대각선 길이가√10이라고 주었다. 길이를 구하는 계산을 시작하기 전에 이 두 측정 조건이 함께 가능한지 판단한다.

두 변의 차를 제곱하면 다음과 같다.

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=10-12=-2.

실수의 제곱이 음수일 수 없으므로 이런 직사각형은 존재하지 않는다. 어떤 한 길이를 놓고 근의 공식을 적용하기 전 이미 모순이 확인된다.

대각선 조건만 주면2ab≤a²+b²=10이므로 넓이는5 이하이다. 넓이6을 얻으려는 요청이 가능한 최대를 넘은 것이다. a=b=√5인 정사각형에서 넓이5는 실제로 가능하다.

그림의 숫자가 제시되었다는 이유로 도형이 항상 존재한다고 가정하지 않는다. 넓이 정보와 대각선 정보가 어떤 식으로 연결되는지 학생에게 설명하게 한다. 답이 없다는 말에도 구체적인 제곱의 모순 또는 넓이 부등식이라는 근거가 필요하다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Quadratic Area Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.