a_n은 실수이고 부호는 제한하지 않는다. ∑a_n/n이 수렴함을 증명하라. 양수 항의 단순 비교만으로 풀 수 있는지 검토한다.
a_k=S_k−S_{k−1}, S_0=0을 유한한 합에 대입하면
S_N은 수렴하므로 어떤 M에 대해 |S_k|≤M이며 S_N/N→0이다. 뒤 합의 각 항 절댓값은 M/{k(k+1)} 이하이다. 이 양수들의 합은 M(1−1/N)으로 M을 넘지 않으므로 뒤 급수는 수렴한다. 따라서 왼쪽의 부분합도 수렴한다.
원래 항이 모두 양수라는 가정도, 원래 항의 절댓값 합이 유한하다는 가정도 쓰지 않았다. 유한한 식에서 먼저 부분합을 꺼낸 것이 부호의 문제를 처리했다.
학생이 a_n/n≤a_n이라고만 적으면 음수 항에서 비교 방향이 어떻게 되는지 묻는다. 이번 증명은 항 자체가 아니라 수렴한 부분합 S_k의 크기를 비교하며, 마지막 항 S_N/N을 따로 남겨 극한을 확인한다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.