다섯 명이 모두 세 명과 악수했다는 기록은 성립할 수 없다

다섯 사람이 각각 서로 다른 세 명과 악수했다. 자신과 악수하지 않고 같은 두 사람의 악수는 한 번만 센다. 총 악수 횟수를 구하라는 문항은 성립하는가?

각 사람의 횟수를 더하면5×3=15다. 한 번의 악수는 두 사람의 기록에 각각 들어가므로 합은 총 악수 횟수의 두 배다. 따라서 총 횟수가15/2가 되어야 하는데 악수 횟수는 정수다. 조건을 만족하는 기록이 없다.

2E=5\times3=15,\qquad E=\frac{15}{2}\notin\mathbb Z.

15를2로 나누고 소수점 아래를 버려7이라고 쓰지 않는다. 이 나눗셈은 대략적인 수를 구하는 방법이 아니라 같은 악수를 두 번 센 것을 바로잡는 정확한 관계다. 정수가 아니라는 사실이 조건의 불가능함을 알려 준다.

교사는 “사람마다 세 명”이 가능한 기록인지 먼저 확인하게 한다. 다섯 명이 있으므로 다른 사람이 네 명이라는 조건만 보면 세 명과 악수할 수 있어 보인다. 각 사람의 조건이 따로 가능해도 모든 사람의 기록을 동시에 만족할 수 있는지는 다른 문제다.

여섯 사람으로 바꾸면 실제 예를 만들 수 있다. A,B,C와 D,E,F를 두 묶음으로 나누고 다른 묶음의 세 사람과만 모두 악수한다. 각 사람은 정확히 세 명과 악수하고 총9번이다. 합18을2로 나눈 결과와 같은 기록이다.

따라서 사람 수를 바꾼 예에서는 계산만 하지 않고 가능한 목록까지 제시한다. 합이 짝수라는 조건은 이 세 사람씩 악수하는 예의 불가능을 거르는 데 사용되었지만, 어떤 조건에서도 그것만으로 기록이 가능하다는 뜻은 아니다.

문항을 준비할 때 정답 칸을 숫자로만 제한하지 않는다. “조건을 만족하는 경우 없음”도 판단의 결과다. 경우의 수를 묻기 전에 문항의 전제가 성립하는지 검토하는 질문으로 사용할 수 있다.