막대 세 개의 길이를 골랐는데 삼각형은 언제나 만들 수 있을까

a,b를 각각 같은 확률로 독립적으로 고른다. 길이 a,b,3인 세 막대로 삼각형을 만들 확률을 구하라. 막대가 일직선에 놓이는 경우는 삼각형에서 제외한다.

서로 다른 순서쌍 (a,b)16개가 같은 확률이다. 세 길이가 삼각형을 만들 조건은 |a−b|<3<a+b다. 양쪽 부등식 모두 엄격하다.

두 목록이 겹치지 않아 실패5개, 성공11개다. 따라서 확률은11/16이다. (1,2)는 길이의 합이3과 같아 일직선이 되고, (1,4)는4가1+3과 같아 역시 제외된다.

교사는 가장 긴 막대가 언제나 c라고 생각한 답을 확인한다. a=4,b=1에서는 가장 긴 막대가 a다. a+b>3만 검사하면 이 실패를 놓친다. 길이 차 조건까지 함께 쓰면 가장 긴 막대가 바뀌는 경우를 한 식에 담을 수 있다.

순서를 지운 길이 조합을 같은 확률로 세는 것도 틀린다. (1,2),(2,1)는 다른 출발 결과 두 개지만 (1,1)은 하나다. a,b를 각각 고르는 절차가 어떤 결과에 같은 확률을 주는지 먼저 정한다.

계산 뒤 (1,3),(3,1)이 모두 성공 목록에 있는지도 대조한다. 한 길이가 다른 두 길이의 합과 같은 경계만 제외한다. 같은 길이의 막대가 있다는 이유로 이등변삼각형을 버리지 않는다.

전체16칸 표에서 실패를 표시하는 형식으로 준비하면 부등식의 등호 처리와 같은 확률의 대상을 동시에 확인할 수 있다.

출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.