f는 실수 전체에서 미분가능하다. 방정식 f(x)=x가 반드시 해를 갖는지, 해가 몇 개인지 판단한다. f(0)의 값은 주어지지 않았다.
H(x)=f(x)−x로 놓으면 H′(x)≥1이다. 평균값 정리로 H는 엄밀히 증가하므로 해는 많아야 하나다. 존재는 이 증가 사실만으로 끝내지 않는다.
M>|H(0)|인 양수M을 고른다. 평균값 정리를0과M 사이, −M과0 사이에 각각 쓰면 H(M)≥H(0)+M>0이고 H(−M)≤H(0)−M<0이다.
H는 연속이므로 사잇값의 정리로 그 사이에 H(c)=0인 점이 있다. 따라서 해는 정확히 하나다. 임의의 높이 f(0)가 있어도 전 구간에서 기울기가2 이상이라는 조건이 양끝 부호를 만들 만큼 강하다.
f(x)=2x+7이면 실제 해는−7이다. 시작 값이 없다는 이유로 해가 없다고 주장하거나, 증가함수이므로 존재한다고만 쓰지 않는다. 하나뿐임과 존재에 사용한 근거를 따로 기록한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.