평균이 1이면 로그 적분도 0일까? 등호가 되는 함수를 보자

f(x)>0,\quad f\text{는 }[0,1]\text{에서 연속},\quad\int_0^1f=1,\quad J=\int_0^1\ln f(x)\,dx.

J의 최댓값과 등호를 만드는 모든 f를 구하라. 적분 안과 밖에서 로그의 위치를 바꿔 J=ln1이라고 쓴 답을 검토한다.

양수 t에서 t−1−ln t를 미분하면1−1/t다. t=1에서 최소0이므로 ln t≤t−1이며 등호는 t=1에서만 된다. 각 함수값에 이 부등식을 적용하고 적분한다.

J\le\int_0^1(f-1)=0,\qquad\boxed{\max J=0.}

등호라면 연속인 f−1−ln f의 적분이0이다. 그 식은0 이상이므로 구간 전체에서0이고 f=1이다. 상수1은 실제 조건을 만족한다.

따라서 평균을 먼저 낸 로그와 로그값들의 적분이 같은 것은 이 문제에서 f가 상수일 때뿐이다. 양수 조건은 로그를 정의하는 데 쓰이고, 연속 조건은 적분0에서 모든 입력의 등호를 얻는 데 쓰인다. 평균이1이라는 정보만으로 원래 함수 자체를1로 바꾸어 계산하지 않는다.