f는 두 번 미분가능하고 f,f′,f″는[0,1]에서 연속이다. f는 [0,1]에서 모든 함숫값이0인 함수가 아니다. 함수식 없이 I의 부호를 정한다.
부분적분하면 다음과 같다.
양 끝의 f값이0이라 첫 항이 사라지고 I≤0이다. I=0이라면 연속인 f′의 제곱 적분이0이므로 f′는 전체 구간에서0이다. 평균값 정리와 f(0)=0으로 f도 [0,1]에서 모든 함숫값이0이 되어 조건과 모순이다. 따라서 I<0이다.
예를 들어 f=x(1−x)에서는 f″=−2이고 I=−1/3이다. 그러나 일반 f의 각 점에서 ff″가 항상 음수라고 주장한 것은 아니다. 부분적분으로 전체 적분의 부호를 얻었다.
경계 조건, 제곱의 부호, 함수가 [0,1]에서 항상0이 아니라는 조건이 각각 어느 단계에 쓰였는지 표시한다. 음수 답에 필요한 엄격한 부등호도 최종 결론에 남긴다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.