n은 양의 정수,0≤p≤1이다. 이 조건을 만족하는 n,p가 있는가? “분산이 평균보다 크지 않으니 가능하다”는 답을 검토하라.
이항분포의 식을 쓰면
첫 식 때문에 p>0이다. 두 식을 나누면1−p=1이므로 p=0인데, 그러면 np=0이 되어 평균2와 모순이다. 따라서 유한한 n에서 조건을 만족하는 이항분포는 없다.
평균이 양수일 때 이항분포의 분산은 평균보다 엄밀히 작다. V(X)=E(X)(1−p)이고 p>0이므로1−p<1이기 때문이다. V≤E라는 약한 부등식만 확인하면 등호의 경우를 놓친다.
분산 조건을1로 바꾸면 상황이 달라진다.1−p=1/2에서 p=1/2이고 np=2에서 n=4다. 실제 B(4,1/2)는 평균2·분산1을 갖는다. 가능성 확인에는 p의 범위와 n의 정수 조건도 남겨야 한다.
교사는 평균과 분산을 독립적인 두 숫자로 적기 전에 분포 가정이 주는 관계를 확인한다. 어떤 확률변수든 평균2·분산2를 가질 수 없다는 주장은 아니다. 불가능한 것은 이항분포라는 지정 조건과의 조합이다.
예컨대 값0,3을 각각 확률1/3,2/3로 갖는 변수는 평균2·분산2다. 이 반례는 전체 확률변수의 가능성과 특정 분포의 가능성을 구별하게 한다. 정답에는 어느 가정을 사용했는지 함께 적는다.
p=1도 별도로 확인할 수 있다. 그 경우 분산은0이므로 이 문항의 분산2를 만들지 못한다. 양끝 값의 가능성과 평균 양수 조건을 함께 읽으면 모순의 위치가 분명해진다.
출처·착안: Allan Rossman, 「What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.