공정한 동전을 독립적으로 네 번 던진다. 앞면 H가 연속하여 두 번 이상 나타날 확률을 구하라. 학생은 이웃한 두 자리12,23,3~4에서 HH가 나올 확률1/4을 각각 더해3/4이라고 썼다.
답은1/2이다. 세 위치에서 HH가 나타나는 사건은 서로 배반이 아니다. HHHH는 세 사건에 모두 들어가고 HHHT는 앞의 두 사건에 들어간다. 위치별 확률을 더하면 같은 전체 결과를 반복하여 센다.
HH가 없는 네 자리 결과를 세는 편이 짧다.
여덟 개가 전부다. 전체16개 중 나머지8개는 HH를 포함하므로
목록을 만들 때 마지막 글자가 T이면 앞의 세 자리에 HH가 없는 결과5개를 붙일 수 있다. 마지막이 H이면 바로 앞은T여야 하므로 앞의 두 자리에서 HH가 없는3개를 붙인다. 따라서5+3=8이라는 계산으로 목록의 완전성도 확인한다.
교사는 “시행이 독립”이라는 문장만으로 세 위치의 사건도 독립이나 배반이라고 판단했는지 살핀다. 동전 네 번은 독립이지만 이웃한 두 자리 사건들은 같은 동전 결과를 공유한다. 전체 네 자리 기록을 기준으로 세어야 한다.
문항에서는 앞면이 정확히 두 개인지, 앞면이 연속하여 두 번 이상인지 구별한다. HHHH도 이 문제의 성공이다. 같은 앞면 개수만 세는 이항분포 계산으로 바꾸면 위치 조건이 사라진다.
출처·착안: Kerry Cue / Mathspig, 「Gambling: The World’s Biggest Losers are Aussies … do the maths, mate!」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.