A는 성분이 실수인 n행n열 정사각행렬이며 n≥2다. E는 같은 크기의 단위행렬이다. AX=E 또는 XA=E를 만족하는 n행n열 행렬 X가 있을 수 있는지 판정하라.
AX=E가 있다고 가정하면 양쪽 왼쪽에 A를 곱한다. 결합법칙과 주어진 조건으로
가 되어 A≠O와 모순이다. XA=E인 경우에는 오른쪽에 A를 곱하여 A=(XA)A=X(A²)=O를 얻는다. 따라서 어느 방향에서도 그런 X는 없다.
조건을 만족하는 A 자체는 존재한다.2행2열 A=[[0,1],[0,0]]은0이 아닌 성분이 있지만 제곱하면O다. 이 예에 어떤 X를 붙여도 AX의 둘째 행은0이므로 E가 될 수 없다.
학생이 A가0이 아니니 곱을 되돌릴 수 있다고 쓰면,0이 아닌 수의 나눗셈 성질을 행렬에 옮긴 것인지 확인한다. 행렬은0이 아니라는 조건만으로 단위행렬을 만드는 곱이 보장되지 않는다. 이번 증명은 성분을 전부 풀지 않고도 제곱의 조건과 곱셈 순서를 유지한 한 줄로 불가능을 판정한다.
출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.