공정한 주사위를 서로 독립적으로 세 번 던졌다. 세 눈의 합이6인 사건을 S라 하자. 이 조건 아래 첫 눈 X의 평균을 구하라.
이 조건을 만족하는 순서 있는 세 눈은10가지다. 첫 눈이1이면 뒤 두 눈의 합이5여서(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)의 네 가지다. 첫 눈2,3,4일 때는 각각3,2,1가지다. 첫 눈5나6인 경우는 없다.
주사위가 공정하다는 처음의 조건은 그대로다. 합6인 기록만 고른 뒤의 첫 눈 분포가 원래의1~6 균등 분포와 달라졌을 뿐이다.
평균은 대칭성으로도 확인할 수 있다. 조건을 만족한 기록에서 첫째·둘째·셋째 위치를 바꾸어도 같은 정도로 일어난다. 세 평균이 같고 세 눈의 합이 항상6이므로 각 평균은2다. 이 풀이가 첫 눈1~4의 네 확률까지 같다는 뜻은 아니다.
후속으로 첫 눈이 짝수일 확률을 물으면2와4의 확률을 더해4/10이다. 평균2만 보고 첫 눈이 항상2이거나 네 값이 같은 확률이라고 말할 수 없다.
교사는 ‘공정한 주사위’라는 문구만으로1/6을 바로 쓰는 답안을 점검한다. 어떤 기록 전체에서 고르는지 먼저 확인해야 한다. 조건이 바뀌면 가능한 결과뿐 아니라 각 값에 대응하는 결과의 개수도 다시 세어야 한다.
조건을 만족한 열 기록을 직접 나열하면 첫 눈이1인 행이 네 개임을 확인할 수 있다. 주사위 눈의 종류 네 개를 같은 비중으로 평균하는 계산은 기록의 개수를 반영하지 않은 계산이다.
출처·착안: Allan Rossman, 「#10: My favorite theorem」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.