같은 실근을 찾을 때 p−1로 나누기 전에 남겨 둘 경우

두 방정식이 같은 실근을 갖도록 하는 실수 p를 모두 구하라. 두 식을 뺀 뒤 p−1로 나누어 x=1을 얻는 풀이를 완성한다.

같은 근을 r이라 하면 두 식의 차에서 (p−1)(r−1)=0이다. 먼저 p=1이면 두 방정식이 x²+x+1=0으로 같아지지만 판별식 −3이므로 실근은 없다. 식이 같아졌다는 사실만으로 실근이 생기지 않는다.

p≠1일 때는 r=1이다. 원래의 식에 넣으면 p+2=0이므로 $\boxed{p=-2}$다. 이때 첫 식은 (x−1)², 둘째 식은 (x−1)(x+2)이어서 공통 실근 1을 실제로 가진다.

차의 식은 같은 근이 있다면 성립하는 필요조건이다. 그 식만 풀고 p=1도 답에 포함하면 실수라는 범위를 확인하지 않은 것이다. p−1로 바로 나누면 점검할 경우를 잃지만, 이번에는 그 경우가 최종 답에서 제외된다는 이유도 써야 한다.

출처·착안: Shared Factors – A Quadratics Puzzle. 문항과 풀이는 새로 작성했다.