현의 끝점을 고정하고 중점을 모을 때 어떤 한 점이 빠질까

C:x^2+y^2=1,\qquad A=(1,0),\quad B\in C,\quad B\ne A.

현AB의 중점M이 움직이는 범위를 구하라. “반지름1/2인 원 전체”라는 답에 빠진 조건이 있는지 확인한다.

M=(u,v)라 두면 B=2M−A=(2u−1,2v)다. B가 원 위이므로

(2u-1)^2+(2v)^2=1, \qquad\left(u-\frac12\right)^2+v^2=\frac14.

그런데 B≠A는 M≠A와 같다. 따라서 위 원에서(1,0) 한 점을 제외한 자취가 답이다.

방정식은 맞지만 현은 사라진다

M=(1,0)을 넣으면 원의 식은 맞는다. 하지만 복원한 B=(1,0)도 A와 같아 서로 다른 두 끝점이라는 현의 조건이 깨진다. 거리0인 점 두 개를 현으로 세지 않는다.

M=(0,0)은 제외하지 않는다. 이때 B=(−1,0)이고 AB는 지름이어서 양 끝점이 다르다. 자취 원이 원래 중심O를 지난다는 사실과 현이 없는 상황은 서로 다르다.

역으로 자취의 다른 점M마다 B=2M−A는 단위원 위이며 A와 다르다. 따라서 나머지 점은 모두 실제 중점이 된다. 필요 식에서 역구성한 점의 허용 조건까지 확인하면 자취가 정확히 정해진다.

문항에서는 B가 단순히 원 위인지, A와 다른 점인지 반드시 적는다. 같은 대입식이라도 이 한 조건에 따라 자취에서 한 점을 남기거나 빼게 된다. 해설의 도형 그림에는 원을 완전히 칠하기 전에 빠지는 점의 위치를 표시한다. 중점 공식으로 식을 잘 구한 답도 마지막 한 점 처리에서 달라질 수 있다.

제외된 점에 가까운 중점은 실제로 만들 수 있다. 그러나 그 점 자체를 얻으려면 두 끝점이 겹쳐야 한다. 그림에서 거의 도달한 것과 조건을 만족하여 얻은 것을 구별한다.

출처·착안: Anne Watson, 「Lines and Angles on Square Grids」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.