모든 가격과 수량을 양수로 두고 Sij=pi·qj라 쓴다. 고정 수량 가격비 L과 Fisher 가격비 F를 아래처럼 정의한다. 0→1과 1→0의 값을 곱하면 각각 항상 1이 되는가?
여기서 p_i·q_j는 두 품목 각각의 가격×수량을 더한 금액이다.
역방향 Fisher는 분자와 분모가 바뀌므로 F10=1/F01이다. 반면 L01L10=S10S01/(S00S11)는 일반적으로 1이 아니다. S00=10,S10=12,S01=17,S11=14인 자체 표에서는
역방향에도 처음의 q0를 그대로 쓰면 1/L01이 나온다. 그러나 그것은 문제에서 정의한 L10이 아니다. 역방향의 출발 기간은 1이므로 가중 수량도 q1로 달라진다. “기간을 바꾼다”와 “분수의 분자·분모만 바꾼다”를 같은 조작으로 보면 이 차이가 사라진다.
Fisher에서는 두 시점 수량을 모두 쓰는 항의 곱이 있어 역방향에 정확히 역수가 된다. BEA의 공식에서 이 성질을 직접 유도한 자체 문항이다. 어떤 지수도 언제나 옳거나 틀리다고 분류하려는 문제가 아니라, 선택한 정의가 어느 일관성 조건을 만족하는지 확인한다.
수업에서는 역방향의 정의를 먼저 별도 줄에 쓰게 한다. 기존 식을 눈으로 뒤집기 전에, 출발 시점과 도착 시점이 바뀌었을 때 가중치가 어디서 오게 되는지 짚는다.
착안: NIPA Handbook, Chapter 4: Estimating Methods (December 2023). 수치·문항·해설은 자체 교육용으로 작성했다.