삼각형의 합을 빼는 풀이를 곱에서 그대로 쓰면

공통 변의 두 끝에 v,w가, 맞은편 두 꼭짓점에 u,x가 적힌 두 삼각형이다. 네 값은 정수다. S 규칙은 u+v+w와 x+v+w가 모두 3의 배수, P 규칙은 uvw와 xvw가 모두 3의 배수다. 두 규칙 모두 u−x가 3의 배수라고 결론 낼 수 있을까?

S 규칙에서는 두 합의 차이가 u−x다. 3의 배수끼리 빼면 다시 3의 배수이므로 결론이 바로 나온다. 이 계산은 v,w가 어떤 정수인지와 관계없이 성립한다.

P 규칙을 두 곱의 차이로 읽으면 3이 vw(u−x)를 나눈다는 정보만 남는다. 여기서 vw를 약분하는 단계에는 조건이 필요하다. 표시한 예는 두 곱이 모두 0이지만 u−x=−1이라 3의 배수가 아니다.

3은 소수이므로 3이 vw를 나누지 않을 때에는 그 남은 인수 u−x를 나누어야 한다.

교사는 두 삼각형의 공유 부분을 없앤다는 그림 설명만으로 두 풀이를 같게 보지 않는다. 합을 뺀 경우에는 공유된 두 항이 직접 사라지지만, 곱의 인수를 지우려면 나머지에서 취소 가능한지 확인해야 한다. 원문의 합 퍼즐과 다른 곱 규칙을 나란히 놓으면 잘못된 약분의 숨은 조건을 찾을 수 있다.

착안 원문: Australian Mathematical Olympiad 2019, Problem 5. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.